I SEMESTRE

I UNIDAD: Introducción al cálculo

1.1 Clasificación y propiedades de los números reales

Los números reales son la base del estudio del cálculo ya que fundamentamente lo que hacemos en cálculo de una variable es estudiar fuciones de variable real a traves de los conceptos de límite, derivación e integración.

Por tal razón el tener un formación sólida en los números reales es escencial para tener éxito en el estudio del cálculo.

Los números reales se pueden estudiar desde varios puntos de vista, el aspecto formal, su construcción, gráficamente, como un campo, etc. Para fines de nuestro estudio nos conviene manejarlos desde el punto de vista gráfico (recta numérica) y como un conjunto con dos operaciones que cumple ciertas propiedades; Axiomas de Campo.

Desde el punto de vista gráfico los números reales se asocian a los puntos de una recta, de tal modo que cada número corresponde a un punto sobre la recta y cada punto está asociado con un número. Para justificar esto, además de los Axiomas de Campo, se deben considerar los Axiomas de Orden y el Axioma de Continuidad.

Desde el punto de vista formal se pueden construir en base a la teoría de Conjuntos en base a los Axiomas de Peano o como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales, que fue la construcción de Cauchy. Estos aspectos teóricos no se van a considerar, pero se pueden tomar como referencia y tener en cuenta que por ejemplo el conjunto de los reales no es numerable.

Se clasifican en: Racionales e Irracionales

Un número racional es un número real que se puede expresar como el cociente a/b de dos números enteros a y b con b diferente de cero. Los números reales que no son racionales se llaman Irracionales. Por ejemplo, la razón del perímetro de una circunferencia a su diámetro es irracional. Este número real se denota por P y se escribe P = 3.1416 para indicar que P es aproximadamente a 3.1416. Otro ejemplo de un número irracional es Ö 2.

Los números reales se pueden representar por expresiones decimales infinitas. Por ejemplo, realizando la división puede verse que la representación decimal del número racional 177/55 es 3.2181818..., en donde los dígitos 1 y 8 se repiten indefinidamente. Los números reales pueden representarse siempre por expresiones decimales periódicas, es decir, en las que hay una combinación de dígitos que se repiten indefinidamente.

Propiedades de los números reales

1) Propiedad Conmutativa: a + b = b + a Sean a, b pertenecientes a los reales.

2) Propiedad Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) Sean a, b, c pertenecientes a los reales.

3)Existencia de elemento inverso (inverso aditivo): a + (-a) = 0

4) Existencia de elemento neutro: a + 0 = a

5) Propiedad Conmutativa del producto: a.b = b.a

6) Propiedad Asociativa del producto: (a.b).c = a.(b.c)

7) Existencia de elemento inverso: a.1/a = 1

8) Existencia de elemento neutro (del producto): a.1 = a

9) Propiedad distributiva: (a + b).c = ac + bc (a.b) + c = (a + c).(b + c)

10) Trocotomía: a > b, a < a =" b">

11) Monotonía de la suma

12) Monotonía del producto

13) Propiedad Transitiva: a > b > c entonces a > c

14) Propiedad Uniforme

1.2 Recta númerica y concepto de intervalo

Recta Númerica

La recta númerica se utiliza para representar los números reales.

Recta númerica y números reales

Concepto de intervalo

Los intervalos representan el conjunto solución de una desigualdad -inecuación-. Es decir, el conjunto de todos los valores que satisfacen una desigualdad dada.
A continuación se muestran los diferentes tipos de intervalo, considérese a como extremo izquierdo y b como extremo derecho:

(ver la tabla de la siguiente pag.)

http://members.fortunecity.es/tutoriales/mate1/unidad1/mate1_12.htm#intervalo )